解き方

　問題は高さ９、底辺１２の直角三角形の中に同じ長さの直径の円を二つ重ねずに三角形の辺に接するようにして入れたときの円の直径を求めるというものだ。

　円の中心点と円と辺の接点を結ぶ。三角形の斜辺の鈍角から鋭角まで三つに分割された長さをA、２X（円の半径をXとする）、Bとする。
　三角形の鈍角、鋭角と円の中心点を結ぶ線は、それぞれ角を二分割することがわかる。
　XとA、Bの比率を求めA＋２X＋B＝１５を未知数Xのみの式にする。

　鈍角を二分割する線を底辺まで伸ばし、直角点から交点までをYとする。交点から斜辺に垂直に交わるよう線を引く。３つの三角形の面積の和が全体の三角形の和に等しいので、９Y＋６Y/２=９×１２/２の式によりYが９/２になる。これからAとXの比率は９対９/２となりAは２Xになる。

　同様に鋭角を二分する線を縦線まで伸ばし、直角点から交点までをYとする。交点から斜辺に垂直に交わるよう線を引く。３つの三角形の面積の和が全体の三角形の和に等しいので、１２Y＋３Y/２=９×１２/２の式によりYが４になる。これからBとXの比率は１２対４となりBは３Xになる。

　上のA＋２X＋B＝１５は、７X=１５となり、円の直径２Xが３０/７になる。
　以上の計算を一度にやると小説に書かれている式になるかは、確かめていない。
　三角形の問題を数多くやっていたので、高さと底辺の比率が３対４の三角形の鈍角と鋭角を二等分にする三角形の高さと底辺の比率がそれぞれ１対２と１対３であることが瞬時にわかったなら、次の段階の１５かける７（２足す２足す３）分の２は、即座にでてくるので、問題を見てすぐ解答できたとしてもおかしくはない。
　高さ９、底辺１２の直角三角形の斜辺が１５はすぐでてくる。３、４、５にせずに９、１２、１５にしたのは無駄に計算を繁雑にしていて洗練されていない問題のようにも感じる。７分の２は比率なので、高さと底辺の長さの比率が同じ三角形なら、この数値は変わらない。最後に斜辺の長さをかけるだけだ。３、４、５の三角形で計算すると５かける７分の２で７分の１０になる。
　「１０！？」、主人公が最初に間違って１０と出したのは、分母の７を落として、最後に３倍するのを忘れたからかと思う。